Элементы вакуммных явлений

Основные понятия теории вероятности

Шешин Е.П. Основы вакуумной техники: Учебное  пособие. — М.: МФТИ, 2001. —  124 с.

Для дальнейшего изложения нам потребуются некоторые определения теории вероятности. Систематическое изложение этих вопросов выходит за рамки данного пособия, поэтому интересующийся читатель может обратиться к соответствующей литературе, например, [1].

Дискретные случайные величины
Рассмотрим случайную величину x, которая может принимать множество значений x1, x2, … xi … . В результате конкретного измерения может быть получено определенное, но заранее неизвестное значение из множества допустимых. Проведем N измерений и обозначим через Ni, сколько раз величина x приняла значение xi. Тогда можно ввести понятие частоты появления значения xI:

.                                      (1.1)
По определению вероятностью появления значения xi называют
.                                  (1.2)
Так как , то очевидно .
Средним значением (или медианой) величины x называют
.                             (1.3)
Среднее значение величины g(x), функционально зависящей от x, определяется по формуле
.                              (1.4)
Для того чтобы описать разброс случайной величины, вводят понятие дисперсии:
,     (1.5)
а также среднеквадратичного отклонения:
.                            (1.6)

Непрерывные случайные величины
Аналогично можно определить понятие вероятности для непрерывной величины x, определенной на множестве G. Вместо вероятности для непрерывной величины вводится понятие плотность вероятности f(x), смысл которого состоит в том, что вероятность получить в результате измерения величину, заключенную в пределах от x до x + dx, есть
.                            (1.7)
Условие нормировки имеет вид .
Средним значением (или медианой) непрерывной величины x называют
.                   (1.8)
Среднее значение величины g(x), функционально зависящей от x, определяется по формуле
.                    (1.9)
Дисперсия непрерывной величины x выражается следующим образом:

            .  (1.10)

• • Распределение молекул по скоростям

 

При соударении друг с другом или со стенками вакуумной камеры молекулы газа изменяют свои скорости, как по величине, так и по направлению. Тем не менее в состоянии равновесия систему молекул можно описать с вероятностной точки зрения. Математически такое описание определяется заданием функции плотности вероятности распределения молекул по скоростям.
Рассмотрим объем идеального газа, находящийся при температуре T. Функция распределения молекул по скоростям определяется формулой Максвелла (это так называемое распределение Максвелла):
, (1.11)
где vx, vy, vz — декартовы компоненты скорости частицы,
k — постоянная Больцмана, которая осуществляет связь между температурой и энергией, k = 1,38×10–23 Дж/К = =1,38×10–16 эрг/К, m — масса частицы.
Формула (1.11) определяет вероятность того, что молекула газа имеет скорость с декартовыми компонентами в интервалах от vx доvx + dvx; от vy до vy + dvy; от vz до vz + dvz. Точный вывод формулы (1.11) выходит за рамки данного пособия. Интересующийся читатель может найти подробности в литературе [2, 3].
Формула (1.11) может быть представлена в виде произведения трех независимых сомножителей, каждый из которых определяет распределение по соответствующей декартовой компоненте скорости, например, для компоненты x:
.            (1.12)
Интервалу абсолютных скоростей от v до v + dv в пространстве скоростей vx, vy, vz соответствует сферический слой объемом 4pv2dv. Тогда вероятность того, что скорость молекулы лежит в диапазоне от v до v + dv, определяется формулой
.          (1.13)
Формулу (1.13) можно также получить, сделав в (1.11) переход от декартовых координат к сферическим и выполнив интегрирование по углам. В заключение получим распределение молекул по энергии. Для этого заменим в формуле (1.13) mv2/2 на E, а dv на  соответственно:
.            (1.14)
Формулы (1.12) и (1.14) удобно представить в инвариантном виде, вводя безразмерную энергиюи безразмерную скорость :
                            (1.15а)
,                           (1.15б)

где , , а графики этих функций приведены на рисунке 1.1.
Максимум функции fv(y) соответствует значению y= 1, поэтому наиболее вероятная скорость равна
.                               (1.16)

а)

б)

Рис. 1.1. Функции распределения Максвелла по скорости (а) и по энергии (б) в безразмерных единицах

Среднюю скорость молекул можно найти, воспользовавшись формулой (1.9) с учетом (1.13). В результате вычисления интеграла получим
,                     (1.17)
что в безразмерных единицах соответствует .
Аналогично можно выразить среднеквадратичную скорость:
,              (1.18)
что в безразмерных единицах соответствует .
Для того чтобы найти среднюю энергию, воспользуемся распределением (1.14). В результате получим
.                 (1.19)
Некоторые интегралы необходимые для вычисления других средних значений приведены в приложении 1.

1.3. Давление газов

Под давлением газа понимают средний импульс, предаваемый единице площади стенки сосуда молекулами газа в единицу времени. Рассмотрим плоскую стенку сосуда, в который помещен газ. Предположим также, что молекулы газа не прилипают к стенке, а упруго отражаются. Выберем ось x перпендикулярно стенке сосуда, а оси y и z — произвольно в перпендикулярной плоскости.
Будем считать стенку бесконечно тяжелой по сравнению с массой молекулы, тогда изменение импульса молекулы Dp, налетающей на стенку со скоростью vx вдоль оси x (y и z компоненты произвольны), составит
,                            (1.20)
где m — масса молекулы.
Определим число молекул соударяющихся со стенкой сосуда площадью S в единицу времени. Рассмотрим множество молекул с проекцией скорости vx. За время t до стенки долетят только молекулы, находящиеся на расстоянии менее vxt, то есть в слое объемом Svxt. Здесь мы предполагаем, что молекулы не сталкиваются друг с другом. Для выполнения этого предположения необходимо выбрать t так, чтобы vxt было меньше длины свободного пробега молекул между столкновениями. Согласно (1.12) концентрация молекул, имеющих скорости от vx  до dvx, определяется выражением
.       (1.21)
Таким образом, для числа молекул, сталкивающихся со стенкой площади S за время t, можно написать:
,
,                        (1.22)
а число молекул, сталкивающихся с единицей поверхности стенки в единицу времени соответственно:
.                        (1.23)
С учетом (1.20) и (1.21) для давления получим
,
.                                   (1.24)
Важно отметить, что использование для определения давления выражения (1.23) и подстановка в (1.20) среднего значения проекции скорости не являются корректными. В конечном результате это приведет к ошибке в числовом коэффициенте формулы (1.24) в p раз.
Уравнение (1.24) известно под названием уравнение газового состояния. Его можно записать в форме, называемой законом Менделеева–Клапейрона
,                                  (1.25)
где V — объем газа, — количество молей газа, NA = 6,02×1023 моль-1 — число Авогадро (количество молекул в одном моле вещества), R = kNA = 8,31 Дж×(K×моль)-1. Из уравнения (1.25) следует, что при нормальных условиях (давление 105 Па, температура 273 К) один моль идеального газа занимает 22,4 л.
В вакуумной технике обычно приходится иметь дело со смесями газов. Например, воздух представляет собой смесь, состав которой описан в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Состав сухого атмосферного воздуха

Примечание.
В атмосфере имеются также пары воды. При 25 ºС и 50% влажности их парциальное давление составляет 1,2×103 Па.

Для смеси газов справедлив закон Дальтона: общее давление смеси химически невзаимодействующих газов равно сумме парциальных давлений компонентов смеси.
Единицей давления в системе СИ является 1 Па (Паскаль). Это давление, создаваемое при воздействии силы 1 Н на площадь 1 м2. Наиболее распространённой внесистемной единицей давления в вакуумной технике является миллиметр ртутного столба (торр). Под давлением газа 1 мм рт.ст. понимается давление, которое создаёт столбик ртути высотой 1 мм при условии, что плотность ртути равна 13595,1 кг/м3 (при T= 0 ºС), а земное ускорение соответствует нормальному (9,80665 м/с2 на широте 45º): 1 мм рт. ст. = 133,3 Н/м2. Соотношение между различными единицами давления даны в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Соотношения между единицами давления

Единицы давления	1 Па (Н/м2)	1 мм рт. ст. = 1 торр	1 дин/см2	1 атм (физ.)	1 кгс/см2
1 Па (1 Н/м2)	1	7,5×10–3	10	9,87×10–6	1,02×10–5
1 мм рт.ст., (1 торр)	1,33×102	1	1,33×103	1,32×10–3	1,36×10–3
1 дин/см2	0,1	7,5×10–4	1	9,87×10–7	1,02×10–6
1 атм.(физ.)	1,01×105	760	1,01×106	1	1,03
1 кгс/см2	9,8×104	735,56	9,8´105	0,968	1

1.4. Длина свободного пробега

Рассмотрим монохроматический пучок частиц со скоростью v. Пусть пучок влетает в среду с постоянной концентрацией молекул n. Частицы пучка могут испытывать столкновение с молекулами, при этом будем считать их выбывшими из пучка. Обозначим направление вдоль пучка через l. Пусть < l > — средняя длина свободного пробега между столкновениями, тогда вероятность столкновения одиночной частицы входного пучка при прохождении расстояния dl определяется выражением dl/< l >. Изменение числа частиц dN в пучке при прохождении слоя от l до l + dl определяется выражением
,                             (1.26)
где N(l) — число частиц, приходящих в сечение l. Решая это дифференциальное уравнение, получим
,                        (1.27)
где N0 — начальное число частиц в пучке.
Нормируя на начальное число частиц в пучке, можно получить выражение для плотности вероятности распределения частиц по длине свободного пробега
.                         (1.28)
Тогда вероятность события, состоящего в том, что длина свободного пробега частицы не превышает L, определяется выражением
.                        (1.29)
Для того чтобы выяснить, от чего зависит длина свободного пробега, рассмотрим модель абсолютно жестких шариков. Будем считать, что влетающие в среду частицы представляют собой жесткие шарики диаметром D, а молекулы среды имеют бесконечно малый размер. В рамках рассматриваемой модели будем называть сечением частицы ее поперечное сечение s = pD 2 /4. Учет конечного размера молекул среды D0 приводит к выражению для сечения s = p(D+D0) 2 /4, а при D0 = D получим соответственно:
s = pD2.                                   (1.30)
Если принять за диаметр D размер первой боровской орбиты 2a0 » 1 Å, то s » 3.1×10–16 см2. Величина pa02 определяет характерный порядок атомных сечений и часто используется в качестве единицы измерения атомных сечений.
За время t частица входного потока проходит расстояние l = vt, и покрывает объем sl. Среднее число молекул среды в этом объеме или, что то же самое, среднее число столкновений n = nsl. Среднюю длину свободного пробега определим как расстояние < l >, при прохождении которого частица сталкивается в среднем с одной молекулой среды, то есть
.                                   (1.31)
Если скорость частицы v постоянна, то среднее время свободного пробега
.                                 (1.32)
Воспользовавшись уравнением (1.24), можно представить среднюю длину свободного пробега в виде
,                                 (1.33)
то есть, при постоянной температуре средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению.
Среднее эффективное сечение для воздуха (смеси газов см. таблицу 1.1) составляет s » 62,5×10–16 см2. Тогда < l > = 4,5×10‑3/p, где p (торр), < l> (см). Длина свободного пробега молекул воздуха при атмосферном давлении 760 торр и температуре 273 К (нормальные условия) соответственно < l > = 6×10‑6 см = 60 нм. Аналогичные параметры для других газов приведены в приложении 2.
Модель упругих шариков удовлетворительно выполняется для описания упругого взаимодействия медленных нейтральных молекул. При взаимодействии заряженных частиц с молекулами и при больших энергиях взаимодействующих частиц формула (1.30) не справедлива, а сечение зависит от энергии частиц. Однако полученная формула (1.31) имеет более широкую область применимости. Для описания взаимодействия произвольных частиц вводят понятие эффективного сечения s(v), которое в общем случае зависит от относительной скорости сталкивающихся частиц v. Эффективное сечение либо рассчитывают теоретически на основании известного потенциала взаимодействия частиц, либо измеряют экспериментально, например, определяя ослабление пучка частиц в среде и вычисляя длину свободного пробега по формуле (1.27) или измеряя значение вязкости газов (взаимосвязь сечений и вязкости газов будет рассмотрена в следующих главах).
Если частица может взаимодействовать со средой по нескольким каналам, например, упруго рассеяться или ионизовать атом среды, то говорят об эффективном сечении определенного процесса si, где i — порядковый номер процесса. Полное сечение, определяющее длину свободного пробега, задается очевидной формулой . При каждом столкновении вероятность Pi взаимодействия по определенному каналу есть
.                                    (1.34)
Примеры сечений ионизации и возбуждения различных газов электронным ударом, а также упругие сечения приведены в приложении 3.

1.5. Понятие о степенях вакуума

Теперь, когда мы ввели понятие давления и длины свободного пробега можно ввести количественные характеристики, описывающие вакуум. В физике обычно под вакуумом понимают состояние газа, когда длина свободного пробега молекул много больше характерного размера задачи.
В технике вакуумом называют состояние газа, когда его давление ниже атмосферного. В технике различают четыре основных степени вакуума: низкий, средний, высокий и сверхвысокий. Для количественной оценки вводится число Кнудсена:
,                                   (1.35)
где L — характерный размер вакуумного объема, < l > — средняя длина свободного пробега.

Область давлений, когда средняя длина свободного пути молекул много меньше характеристических размеров вакуумного объема, например диаметра трубопровода, отвечает низкому вакууму. Низкий вакуум соответствует Kn >> 1. При этом обмен энергией происходит исключительно между ближайшими молекулами. Такие условия проявляются в виде вязкости газа, а соответствующие процессы называются вязкостными.
Область давлений, когда средняя длина свободного пути молекул примерно равна характеристическим размерам вакуумного объема, получила название среднего вакуума. В этом диапазоне давлений столкновения молекул со стенками и друг с другом равновероятны. Средний вакуум отвечает Kn ~ 1.
В области высокого и сверхвысокого вакуума средняя длина свободного пути молекул много больше размеров вакуумного объема, и молекулы преимущественно сталкиваются со стенками сосуда. В этом случае каждая молекула выступает индивидуально, а процессы в газах называется молекулярными. В высоком вакууме Kn << 1.
Области сверхвысокого вакуума отличаются тем, что за характерное время рабочего процесса не происходит заметного изменения свойств поверхности, связанного адсорбцией остаточных газов.
Области давлений, обычно соответствующие тому или иному вакууму, представлены на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Условное деление областей вакуума

1.6. Явления переноса в газах

При перемещении твёрдого тела со скоростьюvп за счёт передачи количества движения молекулам газа возникает сила внутреннего трения.
Весь газ между подвижной 1 и неподвижной 2 пластинами (рис. 1.5) можно разделить на слои толщиной l0 , где l0 — средняя длина свободного пробега. В плоскости хо  происходят столкновения молекул, вылетевших из плоскостей х΄ и х˝. Изменение количества движения в результате одного столкновения равна 2ml0 dvп/dx. Принимая, что в среднем в отрицательном и положительном направлениях оси х в единицу времени единицу площади в плоскости х0 пересекают nvар /4 молекул, получим общее изменение количества движения в плоскости х0  в единицу времени:

                             .                            (1.36)

Сила трения по всей поверхности переноса определяется общим изменением количества движения:

               ,              (1.37)
где А — площадь поверхности переноса. Коэффициент пропорциональности

                        η = mnvар L/2 = ρvар L/2(1.38)

называют коэффициентом динамической вязкости, а отношение η/ρ — коэффициентом кинематической вязкости (ρ — плотность газа). Точное значение

                               η = 0,499×ρvарL,                              (1.39)

расчитанное согласно молекулярно-кинетической теории мало отличается от приближённого значения (1.39)

Рис. 1.5. Расчётная схема для определения коэффициента вязкости в газах при низком вакууме

Численные значения коэффициента η для некоторых газов при Т = 273 К приведены в табл. 1.3.
В области высокого вакуума сила трения пропорциональна молекулярной концентрации или давлению газа. Это объясняется тем, что молекулы газа двигаются между поверхностями переноса без соударений.

Таблица 1.3

	H2	N2	СO	O2	CO2	Воздух
η·105, Н·с/м2	0,88	1,75	1,70	2,20	1,40	1,70

Теплопередача в разрежённых газах может происходить за счёт трёх процессов: конвекции, теплопроводности и излучения. Конвективный теплообмен может быть либо естественным из-за силового воздействия гравитационного поля на газ, имеющий различную плотность вследствие температурных градиентов, либо вынужденным при наличии газовых потоков во время откачки вакуумных камер.
В области среднего и высокого вакуума роль конвективного теплообмена в общем балансе передачи тепла мала, и в расчётах им обычно пренебрегают. При низком вакууме конвективный теплообмен является основным способом теплопередачи.
Перенос тепла конвекцией в низком вакууме от поверхности нити, нагретой до температуры Тн  к стенкам вакуумной камеры, имеющим температуру Т,  описывается уравнением Ньютона–Рихмана:

                         Ек = a (Tн – Т )А,                                (1.40)

где, а — коэффициент теплообмена; А — площадь поверхности нити.
Теплопередача за счёт теплопроводности может рассматриваться как явление переноса, аналогичное вязкости. Этот процесс характеризуется количеством тепла, отнесённым к одной молекуле газа: cvmT , где удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме

                          ,                                  (1.41)

аg =  ср/сv — отношение теплоёмкости газа при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме (для воздуха и двухатомных газов γ = 1,4; для одноатомныхg= 1,66; для трёх атомных g= 1,3).
Если концентрация газа n постоянна, то аналогично (1.37) запишем выражение для теплового потока (уравнение Фурье):

                            ,                              (1.42)
где
.                         (1.43)

В молекулярно-кинетической теории, используя функцию распределения молекул по скоростям, получают для коэффициента теплопроводности λ более точное выражение:

                              λ = (9γ – 5)ηcv /4.                             (1.44)

Значения λ, рассчитанные по формулам (1.43) и (1.44) для воздуха, отличаются на 20%.
Теплопроводность газа, так же как и вязкость, не зависит от давления в области низкого вакуума и пропорциональна давлению при высоком вакууме.
Теплопередачу в вакууме излучением Еи можно определить
,              (1.45)

где Т1 и Т2 — температура на внешней и внутренней поверхностях переноса; Ег — геометрический фактор (для параллельных плоскостей и концентричных цилиндрических оболочек Ег = 1); Ее — приведённая степень черноты;
В высоком вакууме излучение является практически единственным способом передачи тепла и не зависит от давления газа.
Приведённые закономерности теплопередачи в газах при низких давлениях широко используются в вакуумной технике для расчёта нагревательных и охлаждающих устройств, а также для косвенных измерений давления в области среднего и низкого вакуума.

1.7. Течение газа

 

Стационарный газовый поток через элементы вакуумной системы является следствием существующей в них разности давлений, и рассчитывается по формуле

                              ,(1.46)

где р1 и р2 — давление на концах элемента вакуумной системы, а U — проводимость этого элемента. Проводимость элемента является коэффициентом пропорциональности между потоком и разностью давления и численно равна количеству газа, протекающему через элемент в единицу времени, при разности давлений на концах элемента, равной единице. Если выразить поток в единицах л·торр/с или м3·Па/с, то проводимость выразится соответственно в л/с и м3/с. Выражение потока в кг/с даёт для проводимости размерность кг/(Па·с).
Сопротивление элемента — это величина, обратная его проводимости

                                     .                                    (1.47)

По аналогии с электрическими цепями в вакуумной технике при приближённом рассмотрении процессов течения газа принимается, что проводимость элемента не зависит от его расположения среди других элементов. Тогда для ряда i параллельно соединённых элементов с проводимостями Ui  можно определить общую проводимость как

                                  ,                                 (1.48)

где N – общее число элементов.
Для ряда последовательно соединённых элементов получим общую проводимость:

                                 .                                (1.49)

Проводимость элемента вакуумной системы зависит от степени вакуума, при котором наблюдается течение газа. В низком вакууме проводимость растёт при повышении давления. В высоком вакууме она остаётся постоянной.
В низком вакууме основную роль играет вязкостный режим течения газа, при котором характер распределения скорости в поперечном сечении определяется силами внутреннего трения.
При высоком вакууме силы внутреннего трения в газах стремятся к нулю, и существует молекулярный режим течения газа, для которого характерно независимое перемещение отдельных молекул. В среднем вакууме на течение газа одновременно сказывается влияние внутреннего трения и молекулярного переноса. Существующий при этом режим течения называют молекулярно-вязкостным.
В качестве примеров рассмотрим течение газа для двух типов элементов вакуумных систем: отверстий и трубопроводов.
Под отверстием понимается трубопровод, длина которого значительно меньше диаметра, расположенный в стенке и разделяющий два объёма с давлениями р1 и р2  соответственно.
При вязкостном режиме течения газа закон сохранения энергии для адиабатического истечения газа можно записать в виде равенства приращения кинетической энергии газа изменению его энтальпии

                            ,                           (1.50)
где G — поток газа; — скорость газа на выходе из отверстия; I1 и I2 — энтальпии газа до и после прохождения отверстия. Воспользовавшись тем, что I = срТ перепишем уравнение сохранение энергии в виде

                           .                           (1.51)

С учётом того, что рV = RT/M¸ R/M = cp –  сν ; γ= ср/сν; V1/V2 = (p2/p1)1/V, где V — удельный объём газа, м3/кг, преобразуем (1.51):

                .               (1.52)

Поток газа через отверстие (кг/с) с учётом записанного выражения для :

                        ,                       (1.53)

где ; r = p2/p1, А — площадь отверстия.
Из уравнения газового состояния следует, что

                              V1 = RT1/ (Mp1).(1.54)

Тогда (1.53) можно переписать в виде

                          .                          (1.55)

В условных единицах массы Па·м3/с выражение для газового потока (1.55) будет иметь следующий вид:

              .             (1.56)

При вязкостном режиме течения газа уменьшение отношения давления с обеих сторон отверстия r = р2/ p1 ≤ 1 приводит к тому, что количество газа, протекающего через диафрагму, и конечная скорость потока в области р2 увеличиваются до тех пор, пока отношение р2/р1не достигнет критического значения, соответствующего скорости звука. Если процесс истечения адиабатический, то критическое значение:

                             .                            (1.57)

Для воздуха γ = 1,4, поэтому rк = 0,528; для одноатомного газа γ = 1,67; rк = 0,437, для трёхатомного газа γ = 1,4; rк = 0,546.
Дальнейшее уменьшение отношения давления не изменяет количества протекающего газа. В области отношений р2/р1 выше критического проводимость определяется выражением

                  .                  (1.58)

Для воздуха и других двухатомных газов при γ = 1,4 получим

                ,               (1.59)
где М — молекулярная масса, кг/кмоль; А — площадь отверстия, м2 ; Uов выражено в м3/с.
При комнатной температуре для воздуха (М = 29 кг/кмоль), если А выражено в м2, получим для проводимости отверстия

      , при 1 ³ r ³ 0,52,
, при 0,52 ³ r ³ 0,1,
, при 0,1 ³ r ³ 0.                  (1.60)

Так как отношение давлений r заранее неизвестно, то расчет нужно вести методом последовательных приближений. При проектировочном расчете с большим запасом можно принять в первом приближении, что Uов = 200 А, м3/с и не зависит от r. Тогда для круглых отверстий м3/с. Если  d выражено в см, то , л/с. В обычных вакуумных системах, работающих в стационарном режиме чаще всего r ≥ 0,8, это соответствует проводимости Uов = 830 А, м3/с, что примерно в 4 раза выше, чем первое приближение.
Проводимость отверстия в молекулярном режиме рассчитывается по формуле

                    ,                   (1.61)

где G = G1– G2; G1 и G2 — массовые потоки через отверстие, проходящие навстречу друг другу. С учётом того, что  G1 = n1mvар1А/4, а G2 = n2mvар2А/4, для проводимости можно записать при Т = const

                         ,                        (1.62)

где М в кг/моль, Т в К, А в м 2, Uом в м3/с.
Расчёт проводимости отверстия для воздуха (М = 29 кг/кмоль) при комнатной температуре Т = 298 К из (1.62) даёт в результате

                                 Uом = 116×А.                                 (1.63)

Так как для круглого отверстия А = πd2/4, то Uом = 91 d2 м3/с; если d выражено в см, то Uом = 91 d 2 л/с.
В области молекулярно-вязкостного режима течения можно пользоваться приближённой формулой:

                            Uомв= Uом  b + Uов,                           (1.64)

где , которая справедлива также в областях молекулярного и вязкостного режимов течения газа.
Для воздуха при комнатной температуре имеем

Uомв= 117×Ab + Uов,                                   (1.65)
причём коэффициент b на границе с вязкостным режимом равен 0,8, а на границе с молекулярным – 1,0. Для приближённых расчётов можно принять b = 0,9.
В области низкого вакуума при вязкостном режиме течения газа средняя длина свободного пути молекул газа l0 значительно меньше диаметра трубопровода. Слой газа у поверхности трубопровода остаётся неподвижным, а остальные слои толщиной l0 движутся в условиях стационарного потока с постоянной скоростью. Ограничимся рассмотрением трубопровода с круглым поперечным сечением.
При стационарном потоке в малом элементе газового цилиндра, образованного на радиусе r приращением dr (рис. 1.6а), существует равновесие движущей силы f1 = πr2dp, вызываемой разностью давлений, и силы внутреннего трения в газах .
Условие равновесия можно записать в виде

                    .                    (1.66)

Принимая dv/dr, не зависящим от l ( распределение скоростей по всей длине трубопровода постоянно), после интегрирования в пределах от 0 до l получим

                       .                      (1.67)

Вновь интегрируя по радиусу трубопровода, при начальных условиях r = r0, v= 0 получим параболическое распределение скоростей по сечению трубопровода:

v = (p2– p1) (r02–r2) / (4ηl).(1.68)

Объёмный расход газа

                  .                 (1.69)

Поток газа Q, протекающий через трубопровод, найдём как произведение объёмного расхода V на среднее давление в трубопроводе:

          .         (1.70)

а)	б)

Рис. 1.6. Схема течения газа в трубопроводе:
а) при вязкостном режиме; б) при молекулярном режиме

Запишем выражение для проводимости при вязкостном режиме течения:

             Uтв= Q/(p2– p1) = πr40(p1 + p2)/(16ηl).            (1.71)
Таким образом, проводимость круглого трубопровода при вязкостном режиме течения газа обратно пропорциональна его длине и коэффициенту динамической вязкости газа, прямо пропорциональна среднему давлению в трубопроводе и четвёртой степени радиуса трубопровода.
Для воздуха при Т = 293 К:

                          η = 1,82·10–5 Н/(м2·с)                          (1.72)

можно преобразовать к виду

                     .                    (1.73)

Здесь d и l — в м; p — в Па; а Uтв — в м3/с. Это же выражение, если d и l — в см; p — в торр, а Uтв — в л/с, имеет вид

                        .                       (1.74)

При высоком вакууме и молекулярном режиме течения газа длина свободного пути молекул газа больше диаметра трубы, молекулы движутся независимо друг от друга, соударяясь лишь со стенками трубопровода. Будем считать, что каждая из молекул, хаотически движущихся в трубопроводе, имеет постоянную составляющую переносной скорости vп, направленной по оси трубопровода в область с меньшим давлением.
Движущая сила в этом случае

f1= d p A,(1.75)

где А — поперечное сечение трубопровода.
Уравновешивающая сила, равная общему изменению количества движения всех молекул при их ударе о стенку трубки:

                              f2 = – BdlNqmvп,(1.76)

где В — периметр трубопровода;  – число молекул, ударяющихся о единицу поверхности в единицу времени.
Уравнение равновесия f1 + f2= 0 можно записать, в виде

                          DpA – ВdlNqmvп = 0.(1.77)

Если в (1.76) ввести объемный расход V = vпA и подставить выражение для Nq , то получим

                      .                     (1.78)

В стационарном режиме произведение pcp = Q = const , где pср= (p1 + p2)/2 . Проинтегрируем это отношение в приделах от р1 до p2:
.                   (1.79)

Откуда поток газа

                      ,                     (1.80)

для vap, имеем

                           .                          (1.81)

Более точное выражение для Q получено Кнудсеном с учетом функции распределения молекул по скоростям:

                           .                          (1.82)

Проводимость трубопровода в этом случае

                       .                      (1.83)

Для трубопровода постоянного поперечного сечения имеем

                            Uтм= 4vарА2 /(3Вl).(1.84)

В случае круглого поперечного сечения

                  ,                  (1.85)

 

где d и l выражено в м; М — в кг/кмоль; Т — в К; U — в м3/с. Таким образом, проводимость трубопровода при молекулярном режиме течения не зависит от давления.
Для воздуха при 293 К проводимость цилиндрического трубопровода круглого поперечного сечения

                               Uтм = 121×d3 / l.                              (1.86)

Если выражать d и l в см, а U — в л/с, то формула для расчёта проводимости (1.50) примет другой вид:

                               Uтм= 12,1×d3/l.(1.87)

Повышение давления в закрытом вакуумном сосуде с течением времени указывает на наличие негерметичности (течи).
Действительная негерметичность возникает  вследствие неточности соединений, образования трещин, несовершенства в изготовлении или вследствие применения материала, проницаемого для газов.

Рис. 1.7. Рост давления р со временем τ придействительной и мнимой негерметичности:
l — действительная негерметичность, давление растёт вплоть до атмосферного; 2 — мнимая негерметичность, давление устанавливается на определённом уровне p´ (при T´ ) или p¢¢(при T˝)

Мнимая негерметичность проявляется как десорбция газов с поверхностей, находящихся в вакуумном пространстве, а именно со стенок, электродов и т.д. : обычно она связана с применением неподходящих материалов и недостаточным обезгаживанием вакуумной системы.
Действительной негерметичности соответствует в целом линейное возрастание давления в системе со временем (рис. 1.7), ибо поток газа из окружающей среды в вакуумную систему (при низком давлении р в ней). В самом деле, поток газа через действительную негерметичность

                       lд. н = Gд.н(ра– р) »  Gд.нра(1.88)

можно считать постоянной величиной. В формуле (1.88) величина ра (ра>> р) обозначает атмосферное давление.
В случае мнимой негерметичности по мере возрастания давления в системе десорбция уменьшается и становится равной нулю в момент установления состояния равновесия при определённых давлении р1 и температуре Т1. При более высокой температуре Т2  равновесное давление р2 будет также выше.

1.8. Поверхностные явления в вакууме

 

На поверхности твёрдого тела обычно существует слой связанных молекул. Поглощение молекул твёрдым телом называется сорбцией, обратный процесс — десорбцией, а поглощающее тело — сорбентом. Эти явления имеют большое значение в вакуумной технике. Интенсивная десорбция приводит к обильному газовыделению и сильно замедляет откачку, наоборот, активная сорбция ведёт к быстрому поглощению газа и используется для откачки в специальных сорбционных насосах.
На поверхности системы может быть связано много большее число молекул по сравнению с числом молекул свободно летающих в объёме.
Адсорбированные молекулы находятся на поверхности в состоянии динамического равновесия, когда часть молекул  в результате случайных процессов отрывается и уходит и столько же частиц за это время соударяется с поверхностью и вновь поглощается ею. При этом количество молекул на единице поверхности остаётся постоянным, оно зависит от давления, температуры и от свойства материала.
Явления, приводящие к поглощению молекул, различаются по природе. При физической адсорбции молекулы удерживаются на поверхности силами Ван-дер-Ваальса. Поверхностные силы кристаллической решётки не уравновешены с внешней стороны. Поэтому на поверхности существуют центры адсорбции с расстояниями порядка молекулярных размеров (10–8 см), а число поглощённых молекул пропорционально площади поверхности. Адсорбированные молекулы могут располагаться мономолекулярным слоем или в несколько слоёв. Адсорбированное состояние устойчиво и соответствует минимуму потенциальной энергии молекулы. Поэтому адсорбция сопровождается выделением энергии, которую можно характеризовать удельной теплотой адсорбции. Наоборот, нагревание сообщает молекулам добавочную энергию для преодоления потенциального барьера и приводит к десорбции.
Хемосорбция сопровождается образованием валентных связей молекул газа с поверхностью; некоторые реакции эндотермические, поэтому нагрев может, увеличит количество хемосорбированных молекул. Абсорбцией называют объёмное поглощение газов твёрдым телом, при этом возможны образование твёрдых растворов, объёмная хемосорбция и другие процессы.

Рис. 1.8. Потенциальные ямы при адсорбции
Упрощённо можно считать, что вблизи поверхности существует сила притяжения Fпр  и отталкивания Fот, причём последние уменьшаются быстрее с удалением от поверхности. На некотором расстоянии z0  силы, действующие на молекулу газа, уравновешиваются, при этом имеет место минимум потенциальной энергии  (рис. 1.8). Это равновесие обладает свойством устойчивости, так как при удалении молекулы (z > z0) протяжение преобладает  (Fпр > Fот) и молекула приближается к z0. Наоборот, если молекула сместится от равновесия ближе к поверхности, от при  z < z0 силы отталкивания (Fот> Fпр) вернут её назад к z0.
Физическую адсорбцию и хемосорбцию трудно различить, но при последней связь обычно более прочная. Условно считают, что при глубине потенциальной ямы менее 3–4 ккал/моль имеет место физическая адсорбция, при энергии связи свыше 8 ккал/моль — хемосорбция.
Изотермами адсорбции называют кривые, показывающие зависимость равновесного количества адсорбированного газа μ на единицу поверхности или массы сорбента от давления при различных температурах. Очевидно, μ должно возрастать с увеличением давления у поверхности и убывать с ростом температуры.
При испарении вещества в вакууме над нагретой поверхностью в ограниченном объёме накапливаются молекулы пара, его давление увеличивается и усиливается обратный процесс конденсации. Равновесное давление пара называют упругостью насыщенных паров. Это давление для данного вещества возрастает с температурой: чем больше температура, тем больше скорость испарения, тем больше давление необходимо, чтобы уравновесить его конденсацией. Удельная теплота испарения L= (T/lρ)×dP/dt кал/г, где l — механический эквивалент тепла; ρ — плотность пара. Экспериментально установлено, что величина L линейно убывает с температурой: L = L0– аТ. Используя ρ = Pm/kT, получим

                          .                         (1.89)

После интегрирования имеем

                  .                 (1.90)

Формула Клапейрона (1.55) описывает зависимость упругости насыщенных паров от температуры. Обычно её пишут в виде ln P = A – B/T, пренебрегая слабым членом с ln T.
Например, для вольфрама А = 12,24; , если давление выражено в торрах.
Упругость насыщенных паров обладают не только жидкости, но и твёрдые тела, так как испарение может происходить из твёрдой фазы. Упругость — это максимальное давление вещества при данной температуре. Пар в состоянии насыщения не подчиняется закону Бойля-Мариотта, сжатие его приводит к усилению конденсации при сохранении исходного давления, равного упругости паров. Высокое значение упругости может ограничить возможность получения вакуума. Например, наличие воды в системе не позволит  понизить давление ниже 17,5 торр до полного испарения воды.
Упругости паров различных химических элементов в зависимости от температуры приведены в приложении.